Exercices 14-1 et 14-2 - Rotation 3 dimensions

Exercice 14 - 1 : Avion
Un avion dans lequel tout les moteurs tournent dans la direction d'un tournevis droit avançant dans la direction du vol exécute un tournant vers la gauche. Dans quelle direction l'effet gyroscopique des moteurs tend t'il à le faire dévier ?


Réponse :
L'avion tourne vers la gauche, son vecteur rotation est donc vers le haut.
Le moment cinétique initial des moteurs est vers l'arrière.
Donc le moment de force modifiant l'axe de rotation des moteurs est vers la droite (par rapport à l'avion).
Ceci correspond à un couple de force faisant monter l'avion.

Exercice 14 - 2 : Les bolas
Deux masses égales sont connectées par une corde flexible. Un expérimentateur tient l'une des masses dans sa main et fait tourner l'autre masse sur un cercle horizontal autour de la masse tenue ; il lâche alors la masse tenue.
a) Si la corde casse pendant l'expérience, casse t'elle avant ou après qu'il ait lâché les masses ?
b) Si la corde ne casse pas, décrivez le mouvement des masses après leur libération.
Réponse :
a)  Une partie de l'énergie sera transférée dans la translation lors de la seconde phase. Il y a donc plus d'énergie dans la corde lors de la première phase, c'est à ce moment qu'elle risque le plus de se casser.
b) On calcule la quantité de mouvement du centre de masse (milieu de la corde) au moment où l'expérimentateur lâche la seconde masse. La vitesse du centre de masse nous permet de déduire l'énergie de translation. L'énergie de rotation initiale est connue. La conservation de l'énergie nous permet de déduire l'énergie de rotation restante.

Exercice 13-8 Effet rétro sur une bille

Exercice 13 - 8 : Effet rétro sur une bille
Un tour amusant est de presser une bille avec le doigt, sur une table horizontale, de telle manière que la bille est projetée avec une vitesse linéaire initiale V0 et un mouvement rotationnel vers l'arrière 𝜔0, 𝜔0 étant selon un axe horizontal et perpendiculaire à V0. Le coefficient de friction dynamique (plus petit que le coefficient de friction statique) entre la bille et la table est constant. La bille a un rayon R.

a) Quelle relation doit il y avoir entre V0, R, et 𝜔0 si la bille glisse jusqu'à un arrêt complet ?
b) Quelle relation doit il y avoir entre V0, R, et 𝜔0 si la bille dérape jusqu'à stopper puis revenir vers sa position initiale, avec une vitesse linéaire constante de 3/7 V0 ?

  Solution :
 a) L'effet rétro doit être juste suffisant pour que la bille avance puis s'arrête : les vitesses finales de rotation et de translation sont nulles en même temps.
En appliquant le PFD (principe fondamental de la dynamique) à la bille, on obtient une relation sur la dérivée de la vitesse de translation.On peut intégrer pour trouver le temps (l'instant tf) pour lequel la vitesse devient nulle.
Le calcul moment de la force de frottement nous donne également une équation sur la dérivée de la vitesse de rotation, que l'on peut intégrer pour déterminer le moment pour lequel cette vitesse devient nulle.
L'égalité des deux temps nous donne la solution V0 = (2/5) 𝜔0 r.

 b) Il y a trois stades. Le premier, la bille avance avec un effet rétro. Le second, la bille s'arrête mais l'effet rétro est toujours actif. Le troisième, la bille repart vers l'arrière avec la vitesse connue.

On peut se servir d'une partie des résultats précédents : La vitesse de rotation V1r lorsque la bille s'arrête est ainsi connu en fonction de V0r et V0 (vitesse de translation initiale). 
La même relation peut être utilisée pour lier la vitesse finale en fonction de la vitesse de rotation V1r (2'). Le temps tf est connu et est introduit dans cette relation (1'), noter ici le changement de signe issu du mouvement de rotation qui est dans le sens du mouvement pendant ce troisième stade.
Enfin on élimine V1r pour avoir la relation entre les vitesses finales et initiales. Le résultat est alors accessible.

Exercice 13-7 Boule de bowling

Exercice 13-7 : Boule de bowling
Une boule de bowling uniforme de rayon R et de masse M est initialement lachée de telle manière qu'elle glisse sans rouler avec la vitesse V0 sur une piste avec un coefficient de friction 𝜇 (mu). A quelle distance la boule arrive t'elle avant de rouler sans glisser, et quelle est sa vitesse à ce moment là ?

Solution :
Au départ, la boule glisse, puis l'effet de la force de friction est de la faire rouler (il y a un moment de force qui s'applique entre le centre de la boule et le point de contact avec la piste). Lorsque la vitesse de roulement égale la vitesse du centre de la boule, le régime de roulement est atteint, il n'y a plus de glissement  (1). Cette vitesse est notée V1 et t1 le moment correspondant.
Le frottement ralentit aussi la boule, la vitesse diminue (2).
Le moment des forces augmente la vitesse de rotation (3), que l'on peut intégrer pour avoir la vitesse de rotation jusqu'au moment où les deux vitesse sont égales (4).
On peut éliminer le terme de friction 𝜇 (5), puis le temps t1 pour obtenir le résultat recherché V0 = 7/5 V1 (6).
Le théorème de l'énergie cinétique nous indique que la perte d'énergie cinétique correspond au travail effectué par la force de frottement sur la distance D (7).

Exercices 13-4 13-5 et 13-6 Moment angulaire et moment d'inertie Vol. I Ch.18 et 19

Exercice 13 - 4 : descente d'une pente
Partant du repos, un objet symétrique roule (sans glisser) en descendant une pente de hauteur h. Le moment d'inertie de l'objet en son centre de masse est I, la masse est M, et le rayon de la surface roulante en contact avec la pente est r. Déterminer la vitesse du centre de masse au bas de la pente.

Solution :
 Le moment d'inertie de l'objet au point de contact avec la pente est I = Ic+mr² (axe distant de r par rapport au centre du cercle).
En bas de la pente, l'énergie potentielle dépensée est mgh et est convertie entièrement en énergie de rotation. On en déduit la vitesse de l'objet (la vitesse au point de contact est égale à la vitesse du centre du cercle de roulement car l'objet ne glisse pas).

Exercice 13 - 5 : cylindre sur une bande de roulement
Sur une bande sans fin, inclinée d'un angle théta avec l'horizontale, est posé un cylindre, son axe est horizontal et perpendiculaire au bord de la bande.
Le surfaces sont telles que le cylindre peut rouler sans glisser sur la bande. Comment la bande doit elle se mouvoir pour que le cylindre reste sur place lorsqu'il est lâché ?

Solution :
Le poids s'applique verticalement sur le CM du cylindre, on calcule le moment de la force par rapport au point de contact avec la bande. Le moment d'inertie est connu, on en déduit l'accélération.

Exercice 13 - 6 : cerceau qui fait un looping

Le cerceau H de rayon r roule sans glisser en bas d'une pente. La hauteur h est telle que le cerceau acquiert une vitesse juste suffisante pour prendre un looping (le cerceau maintient le contact avec la piste circulaire au point P). Que vaut h ?

Solution :
Il faut calculer la différence de hauteur entre le centre du cerceau lorsqu'il est en haut de la pente et son centre lorsqu'il se trouve au point P. La perte de l'énergie potentielle nous donne son énergie de roulement et donc sa vitesse. L'accélération centripète doit égaler le poids du cerceau au point P. En en déduit la hauteur h.

Exercices 13-1 13-2 et 13-3 Moment angulaire et moment d'inertie Vol. I Ch.18 et 19

Il s'agit de trois petits exercices sur le calcul des moments. Voici mes réponses... La photo "solution" est tout en bas.

Exercice 13 - 1 : calcul simple d'un moment d'inertie
Un fil de fer droit et uniforme de longueur L et de masse M est courbé en son milieu et y forme un angle théta.Quel est son moment d'inertie pour un axe passant par le point A (le milieu) et perpendiculaire au plan déterminé par le fil courbé ?

Réponse :
Peu importe l'angle, c'est la distance à l'axe qui compte. On peut calculer par exemple en ajoutant le moment d'inertie de deux barres de longueur L/2.

Exercice 13 - 2 : Masse attachée à une poulie
Une masse m est suspendue à une corde enroulée autour d'un cylindre solide circulaire de masse M et de rayon r, pivotant sur des roulements de friction négligeable. Trouver l'accélération de m.

Réponse :
Lorsque M chute, la roue tourne. Le moment de la force de gravité sur la roue est rmg d'une part. Ce moment est égal au moment d'inertie du système fois accélération angulaire de la roue. Le moment d'inertie vaut mr² pour la masse (distance à l'axe) et Mr²/2 pour le cylindre. On en déduit l'accélération angulaire et donc l'accélération de la corde.

Exercice 13 - 3 : barreau qui tombe
Une fine tige horizontale de masse m et de longueur L repose d'un côté sur un support et est suspendue à un fil de l'autre côté. Quelle force est exercée par la tige sur le support immédiatement après que le fil soit brûlé ?

Réponse :
Lorsque le fil casse, le barreau bascule.
Le moment d'inertie du barreau est égal à mL²/3.
Le moment de la force de gravité, s'exerçant sur le CM est Lmg/2.
On en déduit l'accélération angulaire du barreau et donc l'accélération au milieu du barreau (en L/2).
Le principe fondamental de la dynamique permet, connaissant l'accélération et le poids du barreau, de calculer la réaction exercée par le support : R=mg/4.
 

Exercices 12-5 et 12-6

Exercice 12 - 5 : Pile de briques
Une brique uniforme de longueur L est posée sur une surface lisse et horizontale. D'autres briques identiques sont empilées comme sur le dessin, telles que les côtés forment des plans continus, mais les extrémités de chaque brique dépassent de la précédente d'une distance L/a, où a est un entier. Combien de briques peut on disposer de cette manière avant que la pile ne bascule ?

Solution :
La première brique, de toute évidence est stable, on la laisse de côté dans les considérations suivantes. 
La seconde brique peut basculer si son centre de gravité dépasse au delà du bord de la première.
Si la seconde brique est stable, la troisième sera stable si le centre de gravité par ces deux dernières ne dépasse pas au delà du bord de la première.
Pour la quatrième brique, idem, on regarde si le centre de gravité des trois briques ne dépasse pas du bord de la première. Et ainsi de suite...
Si b=L/a, alors le CM de la brique du haut se déplace de b à l'ajout de chaque brique. Si on compte une abscisse zéro à partir du milieu de la brique posée sur le sol, la seconde brique est centrée sur x=b (ci-dessous nommée CM1). Pour avoir les centres de masse successifs, on calcule la moyenne, laquelle s'obtient par la formule (1+x)b/2.

Exercice 12 - 6 : Régulateur à boules
Un régulateur à boules (rotating governor), comme dessiné ci-dessous, est construit de manière à couper l'alimentation lorsque la machine à laquelle il est connecté atteint une vitesse de 120 tours par minute (rpm). Le collier de commande C (la masse à la base du système) pèse 10 livres (lb) et coulisse sans friction sur la tige verticale AB. C est construit de telle manière à couper le courant lorsque la distance AC diminue jusqu'à 1,41 pied (ft). Si les quatre liens du régulateur font chacun 1 pied (ft) entre des pivots sans friction et sont de masse négligeable, quelles valeurs doivent avoir les masses M pour que le régulateur fonctionne comme prévu ?

 

Solution :
C'était la première fois que j'entendais parler de cet engin. Il s'agit d'un système mécanique, qui lorsque les masses situées sur les bras tournent, fait monter une masse et ainsi connecte (ou déconnecte) un circuit. 
Pour plus d'infos : https://fr.wikipedia.org/wiki/Régulateur_à_boules

D'après les données du problème, on s'aperçoit facilement que l'auteur a choisi les longueurs des bras de telle sorte que l'on ait un carré.

1) Par les forces
On calcule les forces sur la masse située en C, ce qui nous donne une relation entre son poids et la tension T2 sur le bras.
On s'intéresse ensuite aux forces sur les masses situées sur les bras, ce qui nous donne deux nouvelles relations entre T1, T2 et g d'une part et la force centripète d'autre part (composantes verticales et horizontales). On peut alors en déduire la valeur de la masse qui satisfait aux conditions.
2) Par les moments
Les deux moments de forces en C et M s'équilibrent lorsque les conditions sont satisfaites (plus de mouvement vertical des masses).

Exercices 12 - 1 2 3 et 4

Rotations en deux dimensions et centre de masse (Vol. I, Ch. 18 et 19)

Pour résoudre ces problèmes, il faut savoir calculer le barycentre de plusieurs points (calcul vectoriel).
Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre.

Exercice 12-1 :
Un trou est découpé dans un disque de densité uniforme. Trouver le centre de masse.

Le diamètre du grand cercle est de 20 cm et le diamètre du petit cercle est de 10 cm. Les deux cercles sont tangents, le petit étant à l'intérieur du grand.

Solution : La distance entre les centre des cercles O1 et O2 est de 5 cm. La densité est uniforme, la masse (densité surfacique multipliée par la surface) de chaque disque est connue,  il suffit donc de déterminer la position du barycentre de deux disques (en faisant attention de compter négativement le trou). On trouve ainsi la position du centre de masse G à 1,67 cm (cinq tiers) du point O2.

Exercice 12-2 :
Un cylindre solide possède une densité variant par quadrants comme ci-dessous, les nombres indiquent la densité relative de chaque quadrant. Avec des axes x,y centrés comme ci-dessous, quelle est l'équation de la droite passant par l'origine et le centre de masse ?



Solution :
Soient O1, O2, O3, et O4 les centres de chacun des quadrants (l'indice se rapporte à la densité relative). LA direction de chacun de ces points est connue par rapport aux vecteurs unitaires ux et uy.
Il suffit de calculer le barycentre G en affectant les coefficients de pondération à chacune des directions. On trouve alors y= x/2.

Exercice12-3 : 
A partir d'une pièce carrée et uniforme de métal, on découpe un triangle isocèle à partir d'un bord, comme ci-dessous, de telle manière que le métal restant, suspendu à partir du point culminant P du découpage, reste en équilibre. Quelle est la hauteur du triangle découpé ?

Le carré a pour côté a.


Solution :
Quelques notations :
a est le côté du carré,
P est le point culminant du triangle,
C est le centre du carré,
h est la hauteur du triangle (h est donc plus petit que a),
T est le centre de masse du triangle.

La surface du carré est SC=a².
La surface du triangle est ST = ah/2.

La position des points C et T est connue en fonction du point P.

Pour trouver les coefficients de pondérations dans le calcul du centre de masse G de l'objet, il faut compter la surface du carré plein et retrancher la surface du triangle (qui est découpé dans le carré).

Ensuite on introduit le point P dans l'équation pour obtenir une relation déterminant P en fonction de G.
La suspension de l'objet est stable si le centre de gravité G se situe sous le point d'application de P. La condition est limite lorsque P=G.
L'équation du second degré donne deux solutions pour h. La première est à éliminer car h est nécessairement plus petit que a. 
On trouve h = (3 - sqrt(3))a/2 = 0,63 a.
 
Exercice 12-4 :

 Les masses M1 et M2 sont placées de part et d'autre d'une barre rigide de longueur L et de masse négligeable ; les dimensions de M1 et M2 sont négligeables par rapport à L. La barre est mise en rotation autour d'un axe qui lui est perpendiculaire. Sur quel point de cette barre l'axe doit-il passer pour que le travail à fournir pour cette mise en rotation avec une vitesse angulaire w₀ soit minimale ?

Solution :

Pour que l'énergie soit minimale, il faut que l'axe passe par le centre de masse (CM) du système (ne pas oublier la formule de composition des moments d'inerties I = ICM + I'). On calcule facilement la position du point par la formule du barycentre.

Exercices 11 -3 et 11 - 4

Voici la suite de mes solutions aux exercices du livre de physique Tips on Physics de Gottlieb et Feynman, supplément aux fameux cours de physique de Feynman.

Exercice 11-3 : 
Une  particule de masse au repos m0, se déplaçant à la vitesse v = 4c/5, percute inélastiquement une particule similaire au repos.
a) Quelle est la vitesse de la particule composite ?
b) Quelle est sa masse au repos ?

L'énergie totale est conservée, la quantité de mouvement est conservée. On en déduit la vitesse de la particule composite vf = c/2 puis la masse au repos de la particule.


Exercice 11-4 :
Une paire proton-antiproton peut être créée par l'absorption d'un photon (gamma) par un proton au repos.

gamma + p => P + (P + P)

Quelle énergie Eg minimum le photon doit-il avoir ? (Exprimer Eg à partir de l'énergie au repos du proton mpc²).

En A parte, la formule permettant de déterminer l'énergie d'un corps dans une désintégration à deux corps.

Exercices 11 - 1 et 11 - 2 - Energie relativiste et quantité de mouvement (Vol. I, Ch. 16 et 17)

Exercice 11-1 : 
a) Exprimer la quantité de mouvement en terme de son énergie cinétique T et de son énergie de repos m0c².
b) Quelle est la vitesse d'une particule pour laquelle son énergie cinétique égale son énergie de repos ?

m0 est la masse au repos de la particule, T son énergie cinétique.

En combinant les équations de l'invariant relativiste avec E=mc²=m0 c² + T et p=mv, on trouve le résultat pour la quantité de mouvement pc = T sqrt(1 + 2 m0c²/T).

Ensuite, si m0 c² = T, on trouve en remplaçant v/c = sqrt(3)/2.


Exercice 11 - 2 : Désintégration en deux corps
Un pion (mpi=273 me) au repos se désintègre en un muon (mµ = 207 me) et un neutrino (mnu = 0). Trouvez l'énergie cinétique et la quantité de mouvement du muon et du neutrino en MeV.

Il y a conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement totales avant et après la désintégration. La masse du neutrino est considérée nulle, donc l'invariant relativiste nous apprend que la totalité de l'énergie du neutrino est dans sa quantité de mouvement. On écrit également l'invariant relativiste pour le muon, ce qui permet d'obtenir la différence des énergies du muon et du neutrino. On peut alors en déduire chacune des énergies.

Exercices 10 - 1 et 10 - 2 - Unités et dimensions (Vol. I, Ch. 5)

Exercice 10-1 : Passer d'un système d'unités à un autre
Moe et Joe, deux physiciens cosmiques qui ont grandi sur des planètes différentes, se rencontrent lors d'un symposium interplanétaire sur les poids et mesures pour discuter de la mise en place d'un système universel d'unités. Moe décrit fièrement les mérites du système MKSA, utilisé dans toutes les régions civilisées de la terre. Joe décrit également avec fierté les beautés du système M'K'S'A', utilisé partout ailleurs dans le système solaire. Si les constantes de proportionnalités reliant la masse, la longueur et le poids entre les deux systèmes sont mu, lambada et tau tels que

m' = µm, l' = lambda l et t' = tau t,

quels sont les facteurs de proportionnalité pour convertir les unités de vitesse, d'accélération, de force, et d'énergie entre les deux systèmes ?

 Exercice 10-2 : modèle réduit du système solaire

Si nn modèle réduit du système solaire était construit à partir de matériaux de la même densité respective moyenne que le soleil et les planètes, mais en réduisant toutes les dimensions linéaires par un facteur k, comment les périodes de révolution des planètes dépendraient de k ?

Réponse : les périodes seraient les mêmes !

Exercices 9 - 8 et 9 - 9

Exercice 9-8 : Athlétisme

Les records du monde (1960) pour le lancer du poids, le disque, et le javelot sont respectivement de 19,30 m, 59,87 m, et 86,09 m. Les masses des missiles impliqués sont respectivement 7,25 kg, 2 kg, et 0,8 kg. Comparez le travail effectué par chaque champion lors de son lancer record, en supposant que chaque trajectoire débute à partir d'une hauteur de 1,80 m au dessus du sol et un angle de départ de 45°. Négligez la résistance de l'air.

On détermine tout d'abord l'équation de trajectoire pour les conditions initiales du problème. On obtient :

y = - g x² / V0² + x + y0.

Le point de chute se caractérise par une hauteur y=0. Ce qui nous permet d'obtenir la vitesse initale V0 :

V0² = gx² / (x + y0).

Le travail effectué par le champion est alors la variation d'énergie cinétique de l'objet qui passe dans ses mains d'une vitesse nulle à la vitesse V0. 

Exercice 9-9 : Explosion, satellite qui s'échappe

Un satellite de masse m se déplace sur une orbite circulaire autour d'un astéroïde de masse M (M>>m). Si la masse de l'astéroïde était subitement réduite à la moitié de sa valeur initiale, qu'arriverait-il au satellite ? Décrivez sa nouvelle orbite.

En mouvement circulaire, la vitesse du satellite est : V² = GM/R. Si la masse de l'astéroïde est divisée par deux, la vitesse de libération devient Vl² = 2 G(M/2) / R = GM/R. La vitesse du satellite se trouve subitement égale à la vitesse de libération et celui-ci s'échappe sur une trajectoire parabolique.

Exercices 9 - 6 et 9 - 7

Exercice 9-6 :

Une particule part du repos au sommet d'une sphère sans friction de rayon R et glisse sur la sphère sous l'effet de la force de gravité. En quel point en dessous de son point de départ décolle t'elle de la sphère ?

La particule va glisser sur la sphère selon une trajectoire circulaire, elle prendra de la vitesse et restera collée à la sphère tant que la composante normale (vers le centre de la sphère) de son accélération (due à la gravité) le lui permettra (et donc sera supérieure à v²/R).
La conservation de l'énergie nous permet de facilement calculer la vitesse après la chute d'une hauteur h :

v² = 2gh .

La composante normale du poids W (=mg) équilibre la force centrifuge :

mg sin(alpha) = mv²/R.

D'après la géométrie du problème : 

R sin(alpha) = R - h.

On trouve R - h = 2h et finalement :

h=R/3.

Conclusion : ce résultat ne dépend pas de la planète sur laquelle on se trouve !

Exercice 9-7 :

Une automobile pesant 1000 kg est propulsée par un moteur dont la puissance mesurée est de 120 kW. Si le moteur développe cette puissance à une vitesse de 60 km/h, quelle est l'accélération maximum que la voiture peut avoir à cette vitesse ?

D'abord, je convertis les km/h en m/s pour entrer dans les unités MKSA usuelles. C'est simple il suffit de diviser par 3,6. Une puissance de 120 kW correspond à 120 kJ/s. La puissance est l'énergie dépensée par unité de temps et cette énergie est utilisée dans l'énergie cinétique de la voiture (gain de vitesse). La variation d'énergie cinétique par unité de temps correspond donc aussi à cette puissance :

P = dE/dt = d(mv²/2)/dt=mv dv/dt.

On obtient directement l'accélération a = dv/dt = P/mv = 7,2 m/s².

Exercices 9 - 4 et 9 - 5

Suite des exercices sur le champ et le potentiel du livre Feynman's Tips on Physics.

Exercice 9-4 : Une petite voiture descend une pente dans un circuit incliné avec un looping circulaire de rayon R à son extrémité inférieure. A partir de quelle hauteur H au-dessus du sommet du looping la voiture doit elle s'élancer pour franchir le looping sans quitter le circuit ?

La petite voiture est en haut d'un circuit, elle possède une certaine énergie potentielle de gravitation positive par rapport à une position située au niveau du bas du circuit. Lorsque la voiture descend le circuit, elle transforme cette énergie potentielle en énergie cinétique et gagne la vitesse correspondante avant d'aborder le looping. Lorsqu'elle monte dans la boucle du looping, elle perd de sa vitesse. Arrivée au sommet de la boucle, elle a perdu en énergie cinétique une quantité équivalente à l'énergie potentielle de gravitation correspondant à la hauteur de la boucle (deux fois le rayon en partant du bas du circuit). Heureusement, on compte la hauteur à partir du sommet de la boucle du looping, donc l'énergie potentielle perdue entre le haut de la pente du circuit et le haut de la boucle du looping correspond donc à l'énergie cinétique restante de la voiture (conservation de l'énergie). On connait donc sa vitesse en fonction de la hauteur H de départ.

1/2 m v² = mgH

Maintenant, comme la voiture est à l'intérieure du boucle circulaire, elle est soumise à une force centripète lui permettant de rester sur cette trajectoire circulaire. L'accélération correspondante v²/R doit au minimum compenser la gravité g au sommet de la boucle pour éviter que la voiture ne chute.

On en conclut : H = R/2.

Exercice 9-5 : Un câble flexible de longueur L et pesant M kg/m est suspendu autour d'une poulie de masse, de rayon et de friction négligeables. Initialement, le câble est juste à l'équilibre. On lui donne une légère poussée pour rompre cet équilibre et il se met à accélérer. Trouver sa vitesse lorsqu'il tombe et quitte la poulie.

Au départ la corde est en équilibre et suspendue à la poulie : chaque moitié L/2 de la corde se situe d'une côté et de l'autre de la poulie. Le centre de masse de la corde se situe en -L/4 (si la poulie est à la hauteur 0), au milieu des demi-cordes. Lorsque la corde quitte la poulie, le CM de la corde est alors à une hauteur -L/2 (le CM se situe au milieu de la corde à partir de ce moment là). D'après la loi de conservation de l'énergie, la vitesse du CM de la corde correspond à l'énergie cinétique gagnée par la perte d'énergie potentielle (donc de hauteur) de ce même CM. D'où v²=gL/2.

Exercices 9 - 1 et 9 - 2 et 9 - 3 Potentiels et Champs Vol. I.12 et I.13

Exercice 9-1 : une masse m collisionne avec un ressort de raideur k. A quelle point devient-elle au repos ? Négliger la masse du ressort.

Il faut écrire la conservation de l'énergie, l'énergie cinétique de la masse se transforme en énergie potentielle du ressort (qui est compressé). Lorsque l'énergie cinétique de la masse devient nulle (elle est alors momentanément au repos), le ressort est compressé en une position x0 que l'on détermine (à l'instant suivant, le ressort commencera à se détendre).

Exercice 9-2 : Un astéroïde sphérique et évidé voyage librement dans l'espace. Une petite particule de masse m se trouve à l'intérieur. En quel point de l'intérieur la particule se trouve t'elle en position d'équilibre ?

La champ de gravité est nul à l'intérieur de la sphère, donc le potentiel est constant, il n'y a pas de position d'équilibre particulière.

Exercice 9 - 3 : La vitesse nécessaire à un corps pour quitter le champ gravitationnel terrestre est (approximativement) de 7,0 mi/s. Si une sonde interplanétaire possède une vitesse initiale de 8,0 mi/s juste au dessus de l'atmosphère terrestre, avec quelle vitesse relativement à la Terre voyagera t'elle lorsqu'elle sera à une distance de 10^6 mi de la Terre ?

L'énergie cinétique de la vitesse de libération correspond à l'énergie potentielle du champ de gravité terrestre qu'il faut vaincre. Très loin de la Terre, l'énergie restante à la sonde est son énergie cinétique, laquelle se calcule en enlevant de l'énergie cinétique de départ une partie correspondant à celle de la vitesse de libération.

Exercice 8 - 5 Forces vol. I.12

Exercice 8-5 : Une particule de poids W (Weight=Poids en anglais) repose sur un plan incliné rugueux faisant un angle alpha avec l'horizontale.
a) Si le coefficient de friction statique mu = 2 tan(alpha), trouver la force minimale horizontale Hmin, agissant transversalement à la pente du plan qui fera bouger la particule.
b) Dans quelle direction ira t'elle ?

Il faut exercer une force minimale pour que la particule commence à se déplacer ; la force de friction est le produit de la force normale au plan et du coefficient de friction. On compare donc d'une part la résultante des deux forces Hminc(sens transversal) et W sin(alpha) (dans le sens de la pente ; W=mg) et d'autre part la force de friction 2W sin(alpha) qui agit en sens contraire. J'ai ici calculé le carré du module pour faire la comparaison et trouver le résultat.

Exercice 8 - 4 Forces

Exercice 8-4 : Un bus d'école avec air conditionné s'approche d'un passage à niveau. L'un des enfants a attaché un ballon rempli à l'hydrogène à un siège. Vous observez que la ficelle du ballon fait un angle de 30° avec la verticale dans la direction du mouvement. Est ce que le conducteur accélère ou décélère, et de quelle quantité ? (Est ce qu'un policier de la route recommanderait le conducteur pour sa compétence ?)

L'hydrogène (ainsi que l'hélium) est plus léger que l'air. Par un principe équivalent à la poussée d'Archimède, si le milieu (l'air) dans lequel le ballon se trouve subit une accélération (une pseudo-gravité), alors le ballon subit une poussée dans l'autre sens.

La masse relative du ballon est négative (= M_gaz - M_air) donc son 'poids' relatif est dirigé vers le haut. La tension de la ficelle compense ce poids et l'accélération subie. Le principe fondamental de la dynamique permet ensuite de déduire la valeur de l'accélération.

Si le ballon penche vers l'avant, c'est que le bus accélère, ce qui n'est pas convenable à l'approche d'un passage à niveau.

Exercice 8 - 3 Forces

Exercice 8-3 : Pendant leur investigation sur la scène d'un accident automobile, la police a trouvé, par mesure, que la voiture A a laissé des marques de dérapage longues de 150 pieds avant de heurter la voiture B. On sait que le coefficient de friction entre la gomme et la chaussée de la scène de l'accident ne valait pas plus que 0,6. Montrez que la voiture A doit avoir excédé la vitesse limite permise de 45 mph (miles par heure) juste avant l'accident. (Noter que 60 mph = 88 pieds par seconde et l'accélération due à la gravité = 32 pieds par seconde au carré - feet/sec²).

La force due au frottement du pneu sur la route est proportionnelle au poids de la voiture A. Le travail de cette force sur la distance de freinage égale la perte d'énergie cinétique du véhicule entre les deux instants. On estime donc la vitesse initiale minimum de la voiture A en supposant une vitesse finale (lors de l'impact) nulle et un coefficient de friction maximum (donc égale à 0,6). Cette vitesse ne dépend pas de la masse de la voiture. On trouve finalement une vitesse minimale de 51,7 mph supérieure à la vitesse limite.

Exercice 8 - 2 Forces et friction

Exercice 8-2 : Une balle de 5 g est tirée horizontalement dans un bloc de bois de 3 kg reposant sur une surface horizontale. Le coefficient de friction dynamique entre le bloc et la surface est de 0,2. La balle reste à l'intérieur du bloc de bois, lequel s'est déplacé de 25 cm sur la surface. Quelle était la vélocité de la balle ?

1 - La balle transmet une certaine quantité de mouvement au bloc de bois. On obtient ici v2 en fonction de v1.
2 - Cela confère une certaine énergie cinétique au bloc de bois (fonction de v2).
3 - Le travail (calculable) effectué par la force de frottement lors du déplacement du bloc de bois contrebalance la perte d'énergie cinétique du bloc.

Exercice 8 - 1 Forces Friction

Exercice 8-1 : Deux masses m1 = 4 kg et m3 = 2 kg sont reliées avec des cordes de poids négligeable par dessus deux poulies sans friction à une troisième masse m2 = 2 kg. La masse m2 bouge sur une longue table avec un coefficient de friction mu = 0,5. Quelle est l'accélération de la masse m1 après que le système soit libéré du repos ?

Il faut écrire la somme des forces (longitudinales , le poids de m2 est compensé par la réaction de la table) qui s'exercent sur le système composé des trois masses  pour trouver l'accélération du système (les trois masses ont la même accélération).

Exercice 7 - 3 collision non relativiste à deux corps

Exercice 7-3 : Un proton avec une énergie cinétique de 1 MeV collisionne élastiquement avec un noyau stationnaire et est défléchi à 90°. Si l'énergie du proton est maintenant de 0,80 MeV, quelle était la masse du noyau cible en unité de la masse du proton ?

La collision est élastique, il n'y a pas de perte d'énergie. On écrit l'équation de conservation de l'énergie ainsi que les équations de conservation de la quantité de mouvement sur les axes x et y.

A partir des équation pour la quantité de mouvement, on élimine l'angle de déflexion. Puis on remplace dans cette expression les valeurs des vitesses par leur équivalent en énergie pour aboutir à la relation recherchée.