Exercice 9-4 : Une petite voiture descend une pente dans un circuit incliné avec un looping circulaire de rayon R à son extrémité inférieure. A partir de quelle hauteur H au-dessus du sommet du looping la voiture doit elle s'élancer pour franchir le looping sans quitter le circuit ?
La petite voiture est en haut d'un circuit, elle possède une certaine énergie potentielle de gravitation positive par rapport à une position située au niveau du bas du circuit. Lorsque la voiture descend le circuit, elle transforme cette énergie potentielle en énergie cinétique et gagne la vitesse correspondante avant d'aborder le looping. Lorsqu'elle monte dans la boucle du looping, elle perd de sa vitesse. Arrivée au sommet de la boucle, elle a perdu en énergie cinétique une quantité équivalente à l'énergie potentielle de gravitation correspondant à la hauteur de la boucle (deux fois le rayon en partant du bas du circuit). Heureusement, on compte la hauteur à partir du sommet de la boucle du looping, donc l'énergie potentielle perdue entre le haut de la pente du circuit et le haut de la boucle du looping correspond donc à l'énergie cinétique restante de la voiture (conservation de l'énergie). On connait donc sa vitesse en fonction de la hauteur H de départ.
1/2 m v² = mgH
Maintenant, comme la voiture est à l'intérieure du boucle circulaire, elle est soumise à une force centripète lui permettant de rester sur cette trajectoire circulaire. L'accélération correspondante v²/R doit au minimum compenser la gravité g au sommet de la boucle pour éviter que la voiture ne chute.
On en conclut : H = R/2.
Exercice 9-5 : Un câble flexible de longueur L et pesant M kg/m est suspendu autour d'une poulie de masse, de rayon et de friction négligeables. Initialement, le câble est juste à l'équilibre. On lui donne une légère poussée pour rompre cet équilibre et il se met à accélérer. Trouver sa vitesse lorsqu'il tombe et quitte la poulie.
Au départ la corde est en équilibre et suspendue à la poulie : chaque moitié L/2 de la corde se situe d'une côté et de l'autre de la poulie. Le centre de masse de la corde se situe en -L/4 (si la poulie est à la hauteur 0), au milieu des demi-cordes. Lorsque la corde quitte la poulie, le CM de la corde est alors à une hauteur -L/2 (le CM se situe au milieu de la corde à partir de ce moment là). D'après la loi de conservation de l'énergie, la vitesse du CM de la corde correspond à l'énergie cinétique gagnée par la perte d'énergie potentielle (donc de hauteur) de ce même CM. D'où v²=gL/2.
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