Exercices 14-1 et 14-2 - Rotation 3 dimensions

Exercice 14 - 1 : Avion
Un avion dans lequel tout les moteurs tournent dans la direction d'un tournevis droit avançant dans la direction du vol exécute un tournant vers la gauche. Dans quelle direction l'effet gyroscopique des moteurs tend t'il à le faire dévier ?


Réponse :
L'avion tourne vers la gauche, son vecteur rotation est donc vers le haut.
Le moment cinétique initial des moteurs est vers l'arrière.
Donc le moment de force modifiant l'axe de rotation des moteurs est vers la droite (par rapport à l'avion).
Ceci correspond à un couple de force faisant monter l'avion.

Exercice 14 - 2 : Les bolas
Deux masses égales sont connectées par une corde flexible. Un expérimentateur tient l'une des masses dans sa main et fait tourner l'autre masse sur un cercle horizontal autour de la masse tenue ; il lâche alors la masse tenue.
a) Si la corde casse pendant l'expérience, casse t'elle avant ou après qu'il ait lâché les masses ?
b) Si la corde ne casse pas, décrivez le mouvement des masses après leur libération.
Réponse :
a)  Une partie de l'énergie sera transférée dans la translation lors de la seconde phase. Il y a donc plus d'énergie dans la corde lors de la première phase, c'est à ce moment qu'elle risque le plus de se casser.
b) On calcule la quantité de mouvement du centre de masse (milieu de la corde) au moment où l'expérimentateur lâche la seconde masse. La vitesse du centre de masse nous permet de déduire l'énergie de translation. L'énergie de rotation initiale est connue. La conservation de l'énergie nous permet de déduire l'énergie de rotation restante.

Exercice 13-8 Effet rétro sur une bille

Exercice 13 - 8 : Effet rétro sur une bille
Un tour amusant est de presser une bille avec le doigt, sur une table horizontale, de telle manière que la bille est projetée avec une vitesse linéaire initiale V0 et un mouvement rotationnel vers l'arrière 𝜔0, 𝜔0 étant selon un axe horizontal et perpendiculaire à V0. Le coefficient de friction dynamique (plus petit que le coefficient de friction statique) entre la bille et la table est constant. La bille a un rayon R.

a) Quelle relation doit il y avoir entre V0, R, et 𝜔0 si la bille glisse jusqu'à un arrêt complet ?
b) Quelle relation doit il y avoir entre V0, R, et 𝜔0 si la bille dérape jusqu'à stopper puis revenir vers sa position initiale, avec une vitesse linéaire constante de 3/7 V0 ?

  Solution :
 a) L'effet rétro doit être juste suffisant pour que la bille avance puis s'arrête : les vitesses finales de rotation et de translation sont nulles en même temps.
En appliquant le PFD (principe fondamental de la dynamique) à la bille, on obtient une relation sur la dérivée de la vitesse de translation.On peut intégrer pour trouver le temps (l'instant tf) pour lequel la vitesse devient nulle.
Le calcul moment de la force de frottement nous donne également une équation sur la dérivée de la vitesse de rotation, que l'on peut intégrer pour déterminer le moment pour lequel cette vitesse devient nulle.
L'égalité des deux temps nous donne la solution V0 = (2/5) 𝜔0 r.

 b) Il y a trois stades. Le premier, la bille avance avec un effet rétro. Le second, la bille s'arrête mais l'effet rétro est toujours actif. Le troisième, la bille repart vers l'arrière avec la vitesse connue.

On peut se servir d'une partie des résultats précédents : La vitesse de rotation V1r lorsque la bille s'arrête est ainsi connu en fonction de V0r et V0 (vitesse de translation initiale). 
La même relation peut être utilisée pour lier la vitesse finale en fonction de la vitesse de rotation V1r (2'). Le temps tf est connu et est introduit dans cette relation (1'), noter ici le changement de signe issu du mouvement de rotation qui est dans le sens du mouvement pendant ce troisième stade.
Enfin on élimine V1r pour avoir la relation entre les vitesses finales et initiales. Le résultat est alors accessible.

Exercice 13-7 Boule de bowling

Exercice 13-7 : Boule de bowling
Une boule de bowling uniforme de rayon R et de masse M est initialement lachée de telle manière qu'elle glisse sans rouler avec la vitesse V0 sur une piste avec un coefficient de friction 𝜇 (mu). A quelle distance la boule arrive t'elle avant de rouler sans glisser, et quelle est sa vitesse à ce moment là ?

Solution :
Au départ, la boule glisse, puis l'effet de la force de friction est de la faire rouler (il y a un moment de force qui s'applique entre le centre de la boule et le point de contact avec la piste). Lorsque la vitesse de roulement égale la vitesse du centre de la boule, le régime de roulement est atteint, il n'y a plus de glissement  (1). Cette vitesse est notée V1 et t1 le moment correspondant.
Le frottement ralentit aussi la boule, la vitesse diminue (2).
Le moment des forces augmente la vitesse de rotation (3), que l'on peut intégrer pour avoir la vitesse de rotation jusqu'au moment où les deux vitesse sont égales (4).
On peut éliminer le terme de friction 𝜇 (5), puis le temps t1 pour obtenir le résultat recherché V0 = 7/5 V1 (6).
Le théorème de l'énergie cinétique nous indique que la perte d'énergie cinétique correspond au travail effectué par la force de frottement sur la distance D (7).

Exercices 13-4 13-5 et 13-6 Moment angulaire et moment d'inertie Vol. I Ch.18 et 19

Exercice 13 - 4 : descente d'une pente
Partant du repos, un objet symétrique roule (sans glisser) en descendant une pente de hauteur h. Le moment d'inertie de l'objet en son centre de masse est I, la masse est M, et le rayon de la surface roulante en contact avec la pente est r. Déterminer la vitesse du centre de masse au bas de la pente.

Solution :
 Le moment d'inertie de l'objet au point de contact avec la pente est I = Ic+mr² (axe distant de r par rapport au centre du cercle).
En bas de la pente, l'énergie potentielle dépensée est mgh et est convertie entièrement en énergie de rotation. On en déduit la vitesse de l'objet (la vitesse au point de contact est égale à la vitesse du centre du cercle de roulement car l'objet ne glisse pas).

Exercice 13 - 5 : cylindre sur une bande de roulement
Sur une bande sans fin, inclinée d'un angle théta avec l'horizontale, est posé un cylindre, son axe est horizontal et perpendiculaire au bord de la bande.
Le surfaces sont telles que le cylindre peut rouler sans glisser sur la bande. Comment la bande doit elle se mouvoir pour que le cylindre reste sur place lorsqu'il est lâché ?

Solution :
Le poids s'applique verticalement sur le CM du cylindre, on calcule le moment de la force par rapport au point de contact avec la bande. Le moment d'inertie est connu, on en déduit l'accélération.

Exercice 13 - 6 : cerceau qui fait un looping

Le cerceau H de rayon r roule sans glisser en bas d'une pente. La hauteur h est telle que le cerceau acquiert une vitesse juste suffisante pour prendre un looping (le cerceau maintient le contact avec la piste circulaire au point P). Que vaut h ?

Solution :
Il faut calculer la différence de hauteur entre le centre du cerceau lorsqu'il est en haut de la pente et son centre lorsqu'il se trouve au point P. La perte de l'énergie potentielle nous donne son énergie de roulement et donc sa vitesse. L'accélération centripète doit égaler le poids du cerceau au point P. En en déduit la hauteur h.

Exercices 13-1 13-2 et 13-3 Moment angulaire et moment d'inertie Vol. I Ch.18 et 19

Il s'agit de trois petits exercices sur le calcul des moments. Voici mes réponses... La photo "solution" est tout en bas.

Exercice 13 - 1 : calcul simple d'un moment d'inertie
Un fil de fer droit et uniforme de longueur L et de masse M est courbé en son milieu et y forme un angle théta.Quel est son moment d'inertie pour un axe passant par le point A (le milieu) et perpendiculaire au plan déterminé par le fil courbé ?

Réponse :
Peu importe l'angle, c'est la distance à l'axe qui compte. On peut calculer par exemple en ajoutant le moment d'inertie de deux barres de longueur L/2.

Exercice 13 - 2 : Masse attachée à une poulie
Une masse m est suspendue à une corde enroulée autour d'un cylindre solide circulaire de masse M et de rayon r, pivotant sur des roulements de friction négligeable. Trouver l'accélération de m.

Réponse :
Lorsque M chute, la roue tourne. Le moment de la force de gravité sur la roue est rmg d'une part. Ce moment est égal au moment d'inertie du système fois accélération angulaire de la roue. Le moment d'inertie vaut mr² pour la masse (distance à l'axe) et Mr²/2 pour le cylindre. On en déduit l'accélération angulaire et donc l'accélération de la corde.

Exercice 13 - 3 : barreau qui tombe
Une fine tige horizontale de masse m et de longueur L repose d'un côté sur un support et est suspendue à un fil de l'autre côté. Quelle force est exercée par la tige sur le support immédiatement après que le fil soit brûlé ?

Réponse :
Lorsque le fil casse, le barreau bascule.
Le moment d'inertie du barreau est égal à mL²/3.
Le moment de la force de gravité, s'exerçant sur le CM est Lmg/2.
On en déduit l'accélération angulaire du barreau et donc l'accélération au milieu du barreau (en L/2).
Le principe fondamental de la dynamique permet, connaissant l'accélération et le poids du barreau, de calculer la réaction exercée par le support : R=mg/4.
 

Exercices 12-5 et 12-6

Exercice 12 - 5 : Pile de briques
Une brique uniforme de longueur L est posée sur une surface lisse et horizontale. D'autres briques identiques sont empilées comme sur le dessin, telles que les côtés forment des plans continus, mais les extrémités de chaque brique dépassent de la précédente d'une distance L/a, où a est un entier. Combien de briques peut on disposer de cette manière avant que la pile ne bascule ?

Solution :
La première brique, de toute évidence est stable, on la laisse de côté dans les considérations suivantes. 
La seconde brique peut basculer si son centre de gravité dépasse au delà du bord de la première.
Si la seconde brique est stable, la troisième sera stable si le centre de gravité par ces deux dernières ne dépasse pas au delà du bord de la première.
Pour la quatrième brique, idem, on regarde si le centre de gravité des trois briques ne dépasse pas du bord de la première. Et ainsi de suite...
Si b=L/a, alors le CM de la brique du haut se déplace de b à l'ajout de chaque brique. Si on compte une abscisse zéro à partir du milieu de la brique posée sur le sol, la seconde brique est centrée sur x=b (ci-dessous nommée CM1). Pour avoir les centres de masse successifs, on calcule la moyenne, laquelle s'obtient par la formule (1+x)b/2.

Exercice 12 - 6 : Régulateur à boules
Un régulateur à boules (rotating governor), comme dessiné ci-dessous, est construit de manière à couper l'alimentation lorsque la machine à laquelle il est connecté atteint une vitesse de 120 tours par minute (rpm). Le collier de commande C (la masse à la base du système) pèse 10 livres (lb) et coulisse sans friction sur la tige verticale AB. C est construit de telle manière à couper le courant lorsque la distance AC diminue jusqu'à 1,41 pied (ft). Si les quatre liens du régulateur font chacun 1 pied (ft) entre des pivots sans friction et sont de masse négligeable, quelles valeurs doivent avoir les masses M pour que le régulateur fonctionne comme prévu ?

 

Solution :
C'était la première fois que j'entendais parler de cet engin. Il s'agit d'un système mécanique, qui lorsque les masses situées sur les bras tournent, fait monter une masse et ainsi connecte (ou déconnecte) un circuit. 
Pour plus d'infos : https://fr.wikipedia.org/wiki/Régulateur_à_boules

D'après les données du problème, on s'aperçoit facilement que l'auteur a choisi les longueurs des bras de telle sorte que l'on ait un carré.

1) Par les forces
On calcule les forces sur la masse située en C, ce qui nous donne une relation entre son poids et la tension T2 sur le bras.
On s'intéresse ensuite aux forces sur les masses situées sur les bras, ce qui nous donne deux nouvelles relations entre T1, T2 et g d'une part et la force centripète d'autre part (composantes verticales et horizontales). On peut alors en déduire la valeur de la masse qui satisfait aux conditions.
2) Par les moments
Les deux moments de forces en C et M s'équilibrent lorsque les conditions sont satisfaites (plus de mouvement vertical des masses).