Exercices 12 - 1 2 3 et 4

Rotations en deux dimensions et centre de masse (Vol. I, Ch. 18 et 19)

Pour résoudre ces problèmes, il faut savoir calculer le barycentre de plusieurs points (calcul vectoriel).
Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre.

Exercice 12-1 :
Un trou est découpé dans un disque de densité uniforme. Trouver le centre de masse.

Le diamètre du grand cercle est de 20 cm et le diamètre du petit cercle est de 10 cm. Les deux cercles sont tangents, le petit étant à l'intérieur du grand.

Solution : La distance entre les centre des cercles O1 et O2 est de 5 cm. La densité est uniforme, la masse (densité surfacique multipliée par la surface) de chaque disque est connue,  il suffit donc de déterminer la position du barycentre de deux disques (en faisant attention de compter négativement le trou). On trouve ainsi la position du centre de masse G à 1,67 cm (cinq tiers) du point O2.

Exercice 12-2 :
Un cylindre solide possède une densité variant par quadrants comme ci-dessous, les nombres indiquent la densité relative de chaque quadrant. Avec des axes x,y centrés comme ci-dessous, quelle est l'équation de la droite passant par l'origine et le centre de masse ?



Solution :
Soient O1, O2, O3, et O4 les centres de chacun des quadrants (l'indice se rapporte à la densité relative). LA direction de chacun de ces points est connue par rapport aux vecteurs unitaires ux et uy.
Il suffit de calculer le barycentre G en affectant les coefficients de pondération à chacune des directions. On trouve alors y= x/2.

Exercice12-3 : 
A partir d'une pièce carrée et uniforme de métal, on découpe un triangle isocèle à partir d'un bord, comme ci-dessous, de telle manière que le métal restant, suspendu à partir du point culminant P du découpage, reste en équilibre. Quelle est la hauteur du triangle découpé ?

Le carré a pour côté a.


Solution :
Quelques notations :
a est le côté du carré,
P est le point culminant du triangle,
C est le centre du carré,
h est la hauteur du triangle (h est donc plus petit que a),
T est le centre de masse du triangle.

La surface du carré est SC=a².
La surface du triangle est ST = ah/2.

La position des points C et T est connue en fonction du point P.

Pour trouver les coefficients de pondérations dans le calcul du centre de masse G de l'objet, il faut compter la surface du carré plein et retrancher la surface du triangle (qui est découpé dans le carré).

Ensuite on introduit le point P dans l'équation pour obtenir une relation déterminant P en fonction de G.
La suspension de l'objet est stable si le centre de gravité G se situe sous le point d'application de P. La condition est limite lorsque P=G.
L'équation du second degré donne deux solutions pour h. La première est à éliminer car h est nécessairement plus petit que a. 
On trouve h = (3 - sqrt(3))a/2 = 0,63 a.
 
Exercice 12-4 :

 Les masses M1 et M2 sont placées de part et d'autre d'une barre rigide de longueur L et de masse négligeable ; les dimensions de M1 et M2 sont négligeables par rapport à L. La barre est mise en rotation autour d'un axe qui lui est perpendiculaire. Sur quel point de cette barre l'axe doit-il passer pour que le travail à fournir pour cette mise en rotation avec une vitesse angulaire w₀ soit minimale ?

Solution :

Pour que l'énergie soit minimale, il faut que l'axe passe par le centre de masse (CM) du système (ne pas oublier la formule de composition des moments d'inerties I = ICM + I'). On calcule facilement la position du point par la formule du barycentre.