Exercices 12-5 et 12-6

Exercice 12 - 5 : Pile de briques
Une brique uniforme de longueur L est posée sur une surface lisse et horizontale. D'autres briques identiques sont empilées comme sur le dessin, telles que les côtés forment des plans continus, mais les extrémités de chaque brique dépassent de la précédente d'une distance L/a, où a est un entier. Combien de briques peut on disposer de cette manière avant que la pile ne bascule ?

Solution :
La première brique, de toute évidence est stable, on la laisse de côté dans les considérations suivantes. 
La seconde brique peut basculer si son centre de gravité dépasse au delà du bord de la première.
Si la seconde brique est stable, la troisième sera stable si le centre de gravité par ces deux dernières ne dépasse pas au delà du bord de la première.
Pour la quatrième brique, idem, on regarde si le centre de gravité des trois briques ne dépasse pas du bord de la première. Et ainsi de suite...
Si b=L/a, alors le CM de la brique du haut se déplace de b à l'ajout de chaque brique. Si on compte une abscisse zéro à partir du milieu de la brique posée sur le sol, la seconde brique est centrée sur x=b (ci-dessous nommée CM1). Pour avoir les centres de masse successifs, on calcule la moyenne, laquelle s'obtient par la formule (1+x)b/2.

Exercice 12 - 6 : Régulateur à boules
Un régulateur à boules (rotating governor), comme dessiné ci-dessous, est construit de manière à couper l'alimentation lorsque la machine à laquelle il est connecté atteint une vitesse de 120 tours par minute (rpm). Le collier de commande C (la masse à la base du système) pèse 10 livres (lb) et coulisse sans friction sur la tige verticale AB. C est construit de telle manière à couper le courant lorsque la distance AC diminue jusqu'à 1,41 pied (ft). Si les quatre liens du régulateur font chacun 1 pied (ft) entre des pivots sans friction et sont de masse négligeable, quelles valeurs doivent avoir les masses M pour que le régulateur fonctionne comme prévu ?

 

Solution :
C'était la première fois que j'entendais parler de cet engin. Il s'agit d'un système mécanique, qui lorsque les masses situées sur les bras tournent, fait monter une masse et ainsi connecte (ou déconnecte) un circuit. 
Pour plus d'infos : https://fr.wikipedia.org/wiki/Régulateur_à_boules

D'après les données du problème, on s'aperçoit facilement que l'auteur a choisi les longueurs des bras de telle sorte que l'on ait un carré.

1) Par les forces
On calcule les forces sur la masse située en C, ce qui nous donne une relation entre son poids et la tension T2 sur le bras.
On s'intéresse ensuite aux forces sur les masses situées sur les bras, ce qui nous donne deux nouvelles relations entre T1, T2 et g d'une part et la force centripète d'autre part (composantes verticales et horizontales). On peut alors en déduire la valeur de la masse qui satisfait aux conditions.
2) Par les moments
Les deux moments de forces en C et M s'équilibrent lorsque les conditions sont satisfaites (plus de mouvement vertical des masses).