Un tour amusant est de presser une bille avec le doigt, sur une table horizontale, de telle manière que la bille est projetée avec une vitesse linéaire initiale V0 et un mouvement rotationnel vers l'arrière 𝜔0, 𝜔0 étant selon un axe horizontal et perpendiculaire à V0. Le coefficient de friction dynamique (plus petit que le coefficient de friction statique) entre la bille et la table est constant. La bille a un rayon R.
a) Quelle relation doit il y avoir entre V0, R, et 𝜔0 si la bille glisse jusqu'à un arrêt complet ?
b) Quelle relation doit il y avoir entre V0, R, et 𝜔0 si la bille dérape jusqu'à stopper puis revenir vers sa position initiale, avec une vitesse linéaire constante de 3/7 V0 ?
Solution :
a) L'effet rétro doit être juste suffisant pour que la bille avance puis s'arrête : les vitesses finales de rotation et de translation sont nulles en même temps.
En appliquant le PFD (principe fondamental de la dynamique) à la bille, on obtient une relation sur la dérivée de la vitesse de translation.On peut intégrer pour trouver le temps (l'instant tf) pour lequel la vitesse devient nulle.
Le calcul moment de la force de frottement nous donne également une équation sur la dérivée de la vitesse de rotation, que l'on peut intégrer pour déterminer le moment pour lequel cette vitesse devient nulle.
L'égalité des deux temps nous donne la solution V0 = (2/5) 𝜔0 r.
b) Il y a trois stades. Le premier, la bille avance avec un effet rétro. Le second, la bille s'arrête mais l'effet rétro est toujours actif. Le troisième, la bille repart vers l'arrière avec la vitesse connue.
On peut se servir d'une partie des résultats précédents : La vitesse de rotation V1r lorsque la bille s'arrête est ainsi connu en fonction de V0r et V0 (vitesse de translation initiale).
La même relation peut être utilisée pour lier la vitesse finale en fonction de la vitesse de rotation V1r (2'). Le temps tf est connu et est introduit dans cette relation (1'), noter ici le changement de signe issu du mouvement de rotation qui est dans le sens du mouvement pendant ce troisième stade.
Enfin on élimine V1r pour avoir la relation entre les vitesses finales et initiales. Le résultat est alors accessible.
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