Exercices 12 - 1 2 3 et 4

Rotations en deux dimensions et centre de masse (Vol. I, Ch. 18 et 19)

Pour résoudre ces problèmes, il faut savoir calculer le barycentre de plusieurs points (calcul vectoriel).
Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre.

Exercice 12-1 :
Un trou est découpé dans un disque de densité uniforme. Trouver le centre de masse.

Le diamètre du grand cercle est de 20 cm et le diamètre du petit cercle est de 10 cm. Les deux cercles sont tangents, le petit étant à l'intérieur du grand.

Solution : La distance entre les centre des cercles O1 et O2 est de 5 cm. La densité est uniforme, la masse (densité surfacique multipliée par la surface) de chaque disque est connue,  il suffit donc de déterminer la position du barycentre de deux disques (en faisant attention de compter négativement le trou). On trouve ainsi la position du centre de masse G à 1,67 cm (cinq tiers) du point O2.

Exercice 12-2 :
Un cylindre solide possède une densité variant par quadrants comme ci-dessous, les nombres indiquent la densité relative de chaque quadrant. Avec des axes x,y centrés comme ci-dessous, quelle est l'équation de la droite passant par l'origine et le centre de masse ?



Solution :
Soient O1, O2, O3, et O4 les centres de chacun des quadrants (l'indice se rapporte à la densité relative). LA direction de chacun de ces points est connue par rapport aux vecteurs unitaires ux et uy.
Il suffit de calculer le barycentre G en affectant les coefficients de pondération à chacune des directions. On trouve alors y= x/2.

Exercice12-3 : 
A partir d'une pièce carrée et uniforme de métal, on découpe un triangle isocèle à partir d'un bord, comme ci-dessous, de telle manière que le métal restant, suspendu à partir du point culminant P du découpage, reste en équilibre. Quelle est la hauteur du triangle découpé ?

Le carré a pour côté a.


Solution :
Quelques notations :
a est le côté du carré,
P est le point culminant du triangle,
C est le centre du carré,
h est la hauteur du triangle (h est donc plus petit que a),
T est le centre de masse du triangle.

La surface du carré est SC=a².
La surface du triangle est ST = ah/2.

La position des points C et T est connue en fonction du point P.

Pour trouver les coefficients de pondérations dans le calcul du centre de masse G de l'objet, il faut compter la surface du carré plein et retrancher la surface du triangle (qui est découpé dans le carré).

Ensuite on introduit le point P dans l'équation pour obtenir une relation déterminant P en fonction de G.
La suspension de l'objet est stable si le centre de gravité G se situe sous le point d'application de P. La condition est limite lorsque P=G.
L'équation du second degré donne deux solutions pour h. La première est à éliminer car h est nécessairement plus petit que a. 
On trouve h = (3 - sqrt(3))a/2 = 0,63 a.
 
Exercice 12-4 :

 Les masses M1 et M2 sont placées de part et d'autre d'une barre rigide de longueur L et de masse négligeable ; les dimensions de M1 et M2 sont négligeables par rapport à L. La barre est mise en rotation autour d'un axe qui lui est perpendiculaire. Sur quel point de cette barre l'axe doit-il passer pour que le travail à fournir pour cette mise en rotation avec une vitesse angulaire w₀ soit minimale ?

Solution :

Pour que l'énergie soit minimale, il faut que l'axe passe par le centre de masse (CM) du système (ne pas oublier la formule de composition des moments d'inerties I = ICM + I'). On calcule facilement la position du point par la formule du barycentre.

Exercices 11 -3 et 11 - 4

Voici la suite de mes solutions aux exercices du livre de physique Tips on Physics de Gottlieb et Feynman, supplément aux fameux cours de physique de Feynman.

Exercice 11-3 : 
Une  particule de masse au repos m0, se déplaçant à la vitesse v = 4c/5, percute inélastiquement une particule similaire au repos.
a) Quelle est la vitesse de la particule composite ?
b) Quelle est sa masse au repos ?

L'énergie totale est conservée, la quantité de mouvement est conservée. On en déduit la vitesse de la particule composite vf = c/2 puis la masse au repos de la particule.


Exercice 11-4 :
Une paire proton-antiproton peut être créée par l'absorption d'un photon (gamma) par un proton au repos.

gamma + p => P + (P + P)

Quelle énergie Eg minimum le photon doit-il avoir ? (Exprimer Eg à partir de l'énergie au repos du proton mpc²).

En A parte, la formule permettant de déterminer l'énergie d'un corps dans une désintégration à deux corps.

Exercices 11 - 1 et 11 - 2 - Energie relativiste et quantité de mouvement (Vol. I, Ch. 16 et 17)

Exercice 11-1 : 
a) Exprimer la quantité de mouvement en terme de son énergie cinétique T et de son énergie de repos m0c².
b) Quelle est la vitesse d'une particule pour laquelle son énergie cinétique égale son énergie de repos ?

m0 est la masse au repos de la particule, T son énergie cinétique.

En combinant les équations de l'invariant relativiste avec E=mc²=m0 c² + T et p=mv, on trouve le résultat pour la quantité de mouvement pc = T sqrt(1 + 2 m0c²/T).

Ensuite, si m0 c² = T, on trouve en remplaçant v/c = sqrt(3)/2.


Exercice 11 - 2 : Désintégration en deux corps
Un pion (mpi=273 me) au repos se désintègre en un muon (mµ = 207 me) et un neutrino (mnu = 0). Trouvez l'énergie cinétique et la quantité de mouvement du muon et du neutrino en MeV.

Il y a conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement totales avant et après la désintégration. La masse du neutrino est considérée nulle, donc l'invariant relativiste nous apprend que la totalité de l'énergie du neutrino est dans sa quantité de mouvement. On écrit également l'invariant relativiste pour le muon, ce qui permet d'obtenir la différence des énergies du muon et du neutrino. On peut alors en déduire chacune des énergies.

Exercices 10 - 1 et 10 - 2 - Unités et dimensions (Vol. I, Ch. 5)

Exercice 10-1 : Passer d'un système d'unités à un autre
Moe et Joe, deux physiciens cosmiques qui ont grandi sur des planètes différentes, se rencontrent lors d'un symposium interplanétaire sur les poids et mesures pour discuter de la mise en place d'un système universel d'unités. Moe décrit fièrement les mérites du système MKSA, utilisé dans toutes les régions civilisées de la terre. Joe décrit également avec fierté les beautés du système M'K'S'A', utilisé partout ailleurs dans le système solaire. Si les constantes de proportionnalités reliant la masse, la longueur et le poids entre les deux systèmes sont mu, lambada et tau tels que

m' = µm, l' = lambda l et t' = tau t,

quels sont les facteurs de proportionnalité pour convertir les unités de vitesse, d'accélération, de force, et d'énergie entre les deux systèmes ?

 Exercice 10-2 : modèle réduit du système solaire

Si nn modèle réduit du système solaire était construit à partir de matériaux de la même densité respective moyenne que le soleil et les planètes, mais en réduisant toutes les dimensions linéaires par un facteur k, comment les périodes de révolution des planètes dépendraient de k ?

Réponse : les périodes seraient les mêmes !

Exercices 9 - 8 et 9 - 9

Exercice 9-8 : Athlétisme

Les records du monde (1960) pour le lancer du poids, le disque, et le javelot sont respectivement de 19,30 m, 59,87 m, et 86,09 m. Les masses des missiles impliqués sont respectivement 7,25 kg, 2 kg, et 0,8 kg. Comparez le travail effectué par chaque champion lors de son lancer record, en supposant que chaque trajectoire débute à partir d'une hauteur de 1,80 m au dessus du sol et un angle de départ de 45°. Négligez la résistance de l'air.

On détermine tout d'abord l'équation de trajectoire pour les conditions initiales du problème. On obtient :

y = - g x² / V0² + x + y0.

Le point de chute se caractérise par une hauteur y=0. Ce qui nous permet d'obtenir la vitesse initale V0 :

V0² = gx² / (x + y0).

Le travail effectué par le champion est alors la variation d'énergie cinétique de l'objet qui passe dans ses mains d'une vitesse nulle à la vitesse V0. 

Exercice 9-9 : Explosion, satellite qui s'échappe

Un satellite de masse m se déplace sur une orbite circulaire autour d'un astéroïde de masse M (M>>m). Si la masse de l'astéroïde était subitement réduite à la moitié de sa valeur initiale, qu'arriverait-il au satellite ? Décrivez sa nouvelle orbite.

En mouvement circulaire, la vitesse du satellite est : V² = GM/R. Si la masse de l'astéroïde est divisée par deux, la vitesse de libération devient Vl² = 2 G(M/2) / R = GM/R. La vitesse du satellite se trouve subitement égale à la vitesse de libération et celui-ci s'échappe sur une trajectoire parabolique.

Exercices 9 - 6 et 9 - 7

Exercice 9-6 :

Une particule part du repos au sommet d'une sphère sans friction de rayon R et glisse sur la sphère sous l'effet de la force de gravité. En quel point en dessous de son point de départ décolle t'elle de la sphère ?

La particule va glisser sur la sphère selon une trajectoire circulaire, elle prendra de la vitesse et restera collée à la sphère tant que la composante normale (vers le centre de la sphère) de son accélération (due à la gravité) le lui permettra (et donc sera supérieure à v²/R).
La conservation de l'énergie nous permet de facilement calculer la vitesse après la chute d'une hauteur h :

v² = 2gh .

La composante normale du poids W (=mg) équilibre la force centrifuge :

mg sin(alpha) = mv²/R.

D'après la géométrie du problème : 

R sin(alpha) = R - h.

On trouve R - h = 2h et finalement :

h=R/3.

Conclusion : ce résultat ne dépend pas de la planète sur laquelle on se trouve !

Exercice 9-7 :

Une automobile pesant 1000 kg est propulsée par un moteur dont la puissance mesurée est de 120 kW. Si le moteur développe cette puissance à une vitesse de 60 km/h, quelle est l'accélération maximum que la voiture peut avoir à cette vitesse ?

D'abord, je convertis les km/h en m/s pour entrer dans les unités MKSA usuelles. C'est simple il suffit de diviser par 3,6. Une puissance de 120 kW correspond à 120 kJ/s. La puissance est l'énergie dépensée par unité de temps et cette énergie est utilisée dans l'énergie cinétique de la voiture (gain de vitesse). La variation d'énergie cinétique par unité de temps correspond donc aussi à cette puissance :

P = dE/dt = d(mv²/2)/dt=mv dv/dt.

On obtient directement l'accélération a = dv/dt = P/mv = 7,2 m/s².

Exercices 9 - 4 et 9 - 5

Suite des exercices sur le champ et le potentiel du livre Feynman's Tips on Physics.

Exercice 9-4 : Une petite voiture descend une pente dans un circuit incliné avec un looping circulaire de rayon R à son extrémité inférieure. A partir de quelle hauteur H au-dessus du sommet du looping la voiture doit elle s'élancer pour franchir le looping sans quitter le circuit ?

La petite voiture est en haut d'un circuit, elle possède une certaine énergie potentielle de gravitation positive par rapport à une position située au niveau du bas du circuit. Lorsque la voiture descend le circuit, elle transforme cette énergie potentielle en énergie cinétique et gagne la vitesse correspondante avant d'aborder le looping. Lorsqu'elle monte dans la boucle du looping, elle perd de sa vitesse. Arrivée au sommet de la boucle, elle a perdu en énergie cinétique une quantité équivalente à l'énergie potentielle de gravitation correspondant à la hauteur de la boucle (deux fois le rayon en partant du bas du circuit). Heureusement, on compte la hauteur à partir du sommet de la boucle du looping, donc l'énergie potentielle perdue entre le haut de la pente du circuit et le haut de la boucle du looping correspond donc à l'énergie cinétique restante de la voiture (conservation de l'énergie). On connait donc sa vitesse en fonction de la hauteur H de départ.

1/2 m v² = mgH

Maintenant, comme la voiture est à l'intérieure du boucle circulaire, elle est soumise à une force centripète lui permettant de rester sur cette trajectoire circulaire. L'accélération correspondante v²/R doit au minimum compenser la gravité g au sommet de la boucle pour éviter que la voiture ne chute.

On en conclut : H = R/2.

Exercice 9-5 : Un câble flexible de longueur L et pesant M kg/m est suspendu autour d'une poulie de masse, de rayon et de friction négligeables. Initialement, le câble est juste à l'équilibre. On lui donne une légère poussée pour rompre cet équilibre et il se met à accélérer. Trouver sa vitesse lorsqu'il tombe et quitte la poulie.

Au départ la corde est en équilibre et suspendue à la poulie : chaque moitié L/2 de la corde se situe d'une côté et de l'autre de la poulie. Le centre de masse de la corde se situe en -L/4 (si la poulie est à la hauteur 0), au milieu des demi-cordes. Lorsque la corde quitte la poulie, le CM de la corde est alors à une hauteur -L/2 (le CM se situe au milieu de la corde à partir de ce moment là). D'après la loi de conservation de l'énergie, la vitesse du CM de la corde correspond à l'énergie cinétique gagnée par la perte d'énergie potentielle (donc de hauteur) de ce même CM. D'où v²=gL/2.