samedi 23 décembre 2017

Exercice 1-7 La bobine de fil qui roule !

Exercice 1-7 La bobine de fil qui roule !





Une bobine de masse M consiste en un cylindre de rayon r se terminant par deux assiettes de rayon R. Elle est placée sur un plan incliné sur lequel est peut rouler mais non glisser. Une masse m est suspendue à une corde enroulée sur la bobine. On observe que le système est en équilibre statique.
Quel est l'angle 𝜃 du plan incliné ?

Il y a le poids total (M+m) de la bobine qui tend à la faire rouler vers le bas. La force de réaction du plan incliné laisse une composante le long de la pente (qui est perpendiculaire au rayon R de la bobine au point de contact). On calcule alors le moment de cette force résultante au rayon extérieur R de la bobine (distance de l'axe avec le point de contact).
Il y a la masse m suspendue qui tend à faire rouler la bobine dans l'autre sens. La corde s'échappe perpendiculairement de la bobine avec un rayon r. On détermine alors de moment de cette force.

Les moments de chaque force s'équilibrent.






Exercice 1-6 : Empilement de 4 sphères

Exercice 1-6 : Empilement de 4 sphères





Un ornement est constitué de quatre sphères identiques de métal. Trois sphères sont disposées sur une surface horizontale et se touchent. La quatrième est posée sur les trois autres. Les trois sphères du bas sont liées ensemble par des soudures au niveau des points de contact.
Quelle tension les soudures doivent-elles supporter en permettant un coefficient de sécurité de 3 ?


Les centres des sphères sont disposées selon les sommets d'un tétraèdre.
On peut calculer la hauteur du centre de la sphère du haut, le poids (vertical) de cette sphère est réparti sur les trois autres au niveau des points de contact.
La composante verticale de ce poids sur les points de contact est calculée. On en déduit la composant horizontale correspondante.
Les soudures doivent donc supporter cette composante horizontale, il y a deux soudures pour chaque boule. Ces soudures font un angle de 𝜋/6 avec la composante horizontale.
On obtient alors la tension supportée par chaque soudure on fonction du poids P de la boule du haut.













Exercice 1-5 : Planche dans une roue...

Exercice 1-5 : Planche dans une roue...


Une planche  de poids W et de longueur R sqrt(3) est dans un trou circulaire de rayon R. A une extrémité de la planche se situe un poids W/2.
Calculer l'angle 𝜃 que fait la planche à l'équilibre.

 


A l'équilibre, les forces tangentielles s'équilibrent.
La planche exerce son poids et le réparti au niveau des points de contacts avec le trou circulaire. Les forces de réaction du trou sont perpendiculaires à la surface et dirigées vers le centre du cercle.

On écrit le PFD sur le côté gauche et sur le côté droit. Le poids de la planche est également réparti de chaque côté et le poids additionnel est uniquement sur le côté droit.
On en déduit une relation entre les angles des forces de réaction avec la verticale, puis l'angle 𝜃 peut être déduit à partir des relations trigonométrique du problème.











Exercice 1-4 : Masse en accélération réduite

Exercice 1-4 : Masse en accélération réduite

Une masse M1 glisse sur un plan incliné à 45° de hauteur H. Elle est liée par une corde  sur poulie à une autre masse M2 qui pend verticalement. La longueur de la corde est telle que les deux masses peuvent se situer simultanément à la hauteur H/2.

A t=0, les deux masses sont à la hauteur H/2 et sont relâchées. 
a) Calculer l'accélération verticale de M2
b) Quelle masse tombe ? A quel moment touche t'elle le sol ?
c) L'autre masse heurtera t'elle ensuite la poulie ?


Il faut écrire le PFD pour chacune des masses. La tension de la corde est la même (en magnitude) pour les deux masses. Leur accélération est également identique. Seule la masse M1 ressent une force de réaction due à la présence du plan incliné.
On en déduit l'accélération en fonction de la force de gravité g. Le signe nous donne le sens de déplacement (la masse M2 chute).
Le calcul de l'accélération nous permet ensuite d'avoir la vitesse, puis la position de M2 en fonction du temps.  On trouve ainsi le moment où M2 touche le sol (temps ts).

Avec son élan, la masse M1 va continuer à monter. Elle possède une certaine énergie cinétique qui l'emmènera jusqu'à la hauteur s = v²/2a. La vitesse au temps ts est calculée pour trouver s.

Si (H/2+s) est inférieur à sa distance initiale (H/sqrt(2)) avec la poulie alors elle ne la heurtera pas. 

 







Exercices 1-1 Boule coincée dans un angle et 1-2 Travaux virtuels

Exercice 1-1 : Une boule est coincée dans un coin, quelles sont les forces que la boule exerce sur chaque surface ?


La méthode classique et méthode la plus simple consiste à appliquer le principe fondamental de la dynamique.
Au niveau du bilan des forces, il y a d'abord le poids de la boule qui est vertical, puis il y a les forces de réaction dues aux parois. La boule est en équilibre, la somme de toutes ces forces est donc nulle.

La force de réaction fm du mur vertical sur la boule est horizontale, ce qui signifie que la force restante, la force de réaction fp de la surface inclinée sur la boule doit compenser à la fois la composante verticale du poids et la composante horizontale de la force fm.

Il y a une autre méthode de résolution mettant en lumière la différence entre ce problème et celle d'une boule sur un plan incliné. Cela fera l'objet d'un post spécial.

Exercice 1-2 : Trois poids en équilibre, liés par une corde et suspendus à des poulies
Par le principe des travaux virtuels, on obtient les relations liant les angles et les poids. On suppose que A est déplacé horizontalement pour avoir une relation entre B et C. Ce qui détermine B compte tenu des données du problème.
Puis on déplace verticalement A pour avoir une autre relation entre A, B et C, et on peut alors aussi déterminer A.