Une particule part du repos au sommet d'une sphère sans friction de rayon R et glisse sur la sphère sous l'effet de la force de gravité. En quel point en dessous de son point de départ décolle t'elle de la sphère ?
La particule va glisser sur la sphère selon une trajectoire circulaire, elle prendra de la vitesse et restera collée à la sphère tant que la composante normale (vers le centre de la sphère) de son accélération (due à la gravité) le lui permettra (et donc sera supérieure à v²/R).
La conservation de l'énergie nous permet de facilement calculer la vitesse après la chute d'une hauteur h :
v² = 2gh .
La composante normale du poids W (=mg) équilibre la force centrifuge :
mg sin(alpha) = mv²/R.
D'après la géométrie du problème :
R sin(alpha) = R - h.
On trouve R - h = 2h et finalement :
h=R/3.
Conclusion : ce résultat ne dépend pas de la planète sur laquelle on se trouve !
Une automobile pesant 1000 kg est propulsée par un moteur dont la puissance mesurée est de 120 kW. Si le moteur développe cette puissance à une vitesse de 60 km/h, quelle est l'accélération maximum que la voiture peut avoir à cette vitesse ?
D'abord, je convertis les km/h en m/s pour entrer dans les unités MKSA usuelles. C'est simple il suffit de diviser par 3,6. Une puissance de 120 kW correspond à 120 kJ/s. La puissance est l'énergie dépensée par unité de temps et cette énergie est utilisée dans l'énergie cinétique de la voiture (gain de vitesse). La variation d'énergie cinétique par unité de temps correspond donc aussi à cette puissance :
P = dE/dt = d(mv²/2)/dt=mv dv/dt.
On obtient directement l'accélération a = dv/dt = P/mv = 7,2 m/s².
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