Exercices 13-1 13-2 et 13-3 Moment angulaire et moment d'inertie Vol. I Ch.18 et 19

Il s'agit de trois petits exercices sur le calcul des moments. Voici mes réponses... La photo "solution" est tout en bas.

Exercice 13 - 1 : calcul simple d'un moment d'inertie
Un fil de fer droit et uniforme de longueur L et de masse M est courbé en son milieu et y forme un angle théta.Quel est son moment d'inertie pour un axe passant par le point A (le milieu) et perpendiculaire au plan déterminé par le fil courbé ?

Réponse :
Peu importe l'angle, c'est la distance à l'axe qui compte. On peut calculer par exemple en ajoutant le moment d'inertie de deux barres de longueur L/2.

Exercice 13 - 2 : Masse attachée à une poulie
Une masse m est suspendue à une corde enroulée autour d'un cylindre solide circulaire de masse M et de rayon r, pivotant sur des roulements de friction négligeable. Trouver l'accélération de m.

Réponse :
Lorsque M chute, la roue tourne. Le moment de la force de gravité sur la roue est rmg d'une part. Ce moment est égal au moment d'inertie du système fois accélération angulaire de la roue. Le moment d'inertie vaut mr² pour la masse (distance à l'axe) et Mr²/2 pour le cylindre. On en déduit l'accélération angulaire et donc l'accélération de la corde.

Exercice 13 - 3 : barreau qui tombe
Une fine tige horizontale de masse m et de longueur L repose d'un côté sur un support et est suspendue à un fil de l'autre côté. Quelle force est exercée par la tige sur le support immédiatement après que le fil soit brûlé ?

Réponse :
Lorsque le fil casse, le barreau bascule.
Le moment d'inertie du barreau est égal à mL²/3.
Le moment de la force de gravité, s'exerçant sur le CM est Lmg/2.
On en déduit l'accélération angulaire du barreau et donc l'accélération au milieu du barreau (en L/2).
Le principe fondamental de la dynamique permet, connaissant l'accélération et le poids du barreau, de calculer la réaction exercée par le support : R=mg/4.